【摘要】 為有效地重現(xiàn)立體數(shù)字信息，本文提出一種離散傅立葉變換DFT（Discrete Fourier Transform）域三維濾波器的設(shè)計(jì)方法。此方法充分考慮了各種三維頻率分布和時(shí)域分布的因素，把DFT、全相位信號(hào)處理、頻譜分析等性質(zhì)結(jié)合了起來，構(gòu)造出性能較好的三維濾波器。彌補(bǔ)了部分現(xiàn)有的用二維方法解決三維濾波問題的不足，具有理論價(jià)值和應(yīng)用前景。
【關(guān)鍵詞】 三維濾波器； 立體數(shù)字信息； 全相位； DFT
Design of 3-dimensional filter in DFT domain to restore
stereo digital informationHUANG Xiangdong， WANG Zhaohua
(School of Electronics and Information Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)
Abstract: To restore stereo digital information effectively, this paper presents a method to design a novel 3-dimensional filter. With all sorts of 3-D factors in frequency domain and time domain being taken into account, an excellent 3-D filter can be constructed by synthesizing the properties of DFT, all-phase signal processing, spectral analysis etc. Moreover, the proposed algorithm is of highly application value for it overcomes parts of the drawbacks in utilizing 2-D method to solve 3-D filtering problems.
Key words: 3-dimentional filter; stereo digital information; all-phase; DFT
隨著圖像和視頻信息技術(shù)的發(fā)展，人們對欣賞視頻圖像的要求越來越高，并進(jìn)一步要求在觀賞時(shí)產(chǎn)生身臨其境的感覺，因而三維立體圖像處理技術(shù)就成為當(dāng)前研究熱題。然而，二維圖像信息量已是十分巨大，三維數(shù)字圖像信息量就更為龐大了,這就對信息的存儲(chǔ)空間和實(shí)時(shí)處理提出更高的要求。
與二維圖像信息一樣，立體信息也存在其相關(guān)性，而且比二維信息多了一個(gè)方向的相關(guān)性，從而立體圖像信息相比平面圖像信息存在更多的冗余。這就使得可在不影響圖像質(zhì)量情況下，降低其三維圖像數(shù)據(jù)的分辨率進(jìn)行編碼、傳輸或其他處理，而要恢復(fù)其完整數(shù)字信息時(shí)，需借助三維數(shù)字濾波器給予恢復(fù)，這就涉及到三維濾波器的設(shè)計(jì)問題。
然而，目前學(xué)術(shù)界對立體圖像的濾波卻仍停留在二維濾波的層次，如文獻(xiàn)［1］提出的基于小二乘二維濾波算法的立體圖像壓縮方法、文獻(xiàn)［2］提出的基于用正交子空間更新的二維濾波方案的立體圖像的壓縮方法等。用二維方法對立體圖像進(jìn)行濾波顯然是一種不直接的方式，沒有根本把握圖像濾波的本質(zhì)。事實(shí)上，早在上世紀(jì)80年代末，王兆華教授就研究過立體數(shù)字信息的壓縮和重構(gòu)問題［3］，還分析了立體數(shù)字信息的序譜特性，并在Walsh變化域完成了三維數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。由于Walsh變換的基函數(shù)是階梯型函數(shù)，而圖像信息顯然與階梯型數(shù)據(jù)存在較大差別，這就使得濾波器性能受到較大影響，因而需要在其他正交變換域進(jìn)行三維濾波器設(shè)計(jì)。本文在基于近研究的“全相位數(shù)字信號(hào)處理［4,5］”成果的基礎(chǔ)上，在DFT域進(jìn)行了三維濾波器的設(shè)計(jì)嘗試，把加窗和重疊濾波措施結(jié)合起來，取得較好的效果。
1 立體圖像的三維譜特性
信號(hào)的傅立葉變換就構(gòu)成了信號(hào)的傅立葉頻譜：對一維信號(hào)做傅立葉變換可得到其一維頻譜，對二維圖像做二維傅立葉變換可得到其二維平面譜，而對三維立體圖像做三維傅立葉變換就可得到其三維空間頻譜。
由于信號(hào)所包含信息的冗余性，在時(shí)域內(nèi)連續(xù)均勻的信號(hào)，一般說來，在其頻譜圖內(nèi)卻是分布集中的。圖1分別給出了一般的二維圖像信號(hào)和立體圖像的頻譜分布示意圖：
圖1 圖像頻譜分布示意圖
圖1表明，二維平面圖像的頻譜 (陰影所示)主要集中在矩形的四個(gè)角上，三維立體圖像的頻譜則集中在立方體的八個(gè)角上,大部分區(qū)域(圖1的空白區(qū)域) 都沒有表示有效信息而浪費(fèi)了, 而立體圖像情況(圖1b)比平面圖像(圖1a)還嚴(yán)重得多。
因而可降低立體圖像的空間分辨率(也就是對圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行下采樣抽取)而不丟失圖像信息，式(1)用矩陣的形式給出了2種抽取光柵結(jié)構(gòu) (“1”表示保留，“0”表示舍棄)e0=1
(1)這樣經(jīng)抽取后，數(shù)據(jù)量減少3/4,便于傳輸和處理。根據(jù)多采樣率信號(hào)處理理論，采樣率變化后信號(hào)頻譜也會(huì)隨之改變，低頻區(qū)域的頻譜會(huì)以“鏡像頻譜”被復(fù)制到高頻區(qū)域(即圖1b空白區(qū)域)。因而需設(shè)計(jì)三維濾波器將鏡像頻譜濾除，重構(gòu)出原圖像信號(hào)。
2 三維DFT域全相位濾波器的設(shè)計(jì)
本節(jié)采用基于“全相位濾波”的方法進(jìn)行三維濾波器設(shè)計(jì)。全相位方法是考慮了包含某樣點(diǎn)的所有N種截?cái)嗲闆r的濾波器設(shè)計(jì)法［5,6］，不需要任何優(yōu)化措施和迭代步驟即可獲得較好的濾波性能，因而算法簡單；另外，全相位濾波器是從頻域出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì)的［5,6］，對于三維情況，首先需設(shè)置N個(gè)二維頻域矩陣Lk(k=0,…, N-1)，以N=4為例：Lk=l00k
l03k l13k l23k l33k.(2) 為使濾波器具備線性相位特性，要求滿足：lm,n,k= lN-m,N-m,k, m,n,k=0,…,N-1.(3) 另外，為表征頻域特性在空間譜的連續(xù)對稱特點(diǎn)，需滿足：lm,n,k= lk,n,m, m,n,k=0,…,N-1.(4) 令N階離散傅立葉變換矩陣為W，則其逆變換矩陣為W*/N (其中“*”表示共軛)，先求Lk的二維逆傅立葉變換(如式(5)所示)：Sk=1 N2W*·Lk·W*, k=0,1,…,N-1.(5) 假設(shè)Sk如式(6)的矩陣所示：Sk=t00k t10k t20k t30k
k=0,…,N－1. 為在三維空間從不同方向觀察濾波器沖激響應(yīng)，將式(6) 按照另一個(gè)下標(biāo)組成另一個(gè)矩陣組S′i：S′i=ti00 ti10 ti20 ti30
i=0,…,N-1. 再對S′i作第三個(gè)方向的逆傅立葉變換(IDFT)：li=1 N·Li·W*, i=0,1,…,N-1. (8) 矩陣組{li}所組成的三維數(shù)據(jù)，就是頻域矩陣Lk在時(shí)域?qū)?yīng)的沖激響應(yīng)，然而文獻(xiàn)［7］指出，這種直接從反傅立葉變換得到的沖激響應(yīng)，其性能是很差的；這可通過“重疊處理”(加權(quán)的重疊處理措施即為“全相位”措施) 來給予改善。為此，需要構(gòu)造一個(gè)(2N-1)×N的重疊加權(quán)矩陣P。
為構(gòu)造重疊加權(quán)矩陣，文獻(xiàn)［5］指出，需設(shè)定一長度為N的前窗序列f和后窗序列b，將b翻轉(zhuǎn)后再與f卷積可得長度為2N-1的卷積窗wc：wc(n)=f(n)×b(-n).(9) 由卷積窗wc即可構(gòu)造重疊加權(quán)矩陣P：P=0 wc(－3) 0 0
觀察{Mj, j=-3,-2,-1,0,1,2,3}可看出平面模板Mj內(nèi)部的數(shù)據(jù)分布具有中心對稱性;而各平面模板Mj間的數(shù)據(jù)分布具有很強(qiáng)的立體對稱性 (在上、下、前、后、左、右6個(gè)方向上關(guān)于M0的元素256中心對稱)：如M0的中心元素為256,模板內(nèi)部相鄰的元素值為144，由于M0和M1在立體空間內(nèi)是緊挨的，因而M1的中心元素也為144；而M0的中心元素相隔1個(gè)象素的元素值為64，則與M0相隔一個(gè)平面的模板M2的中心元素值也為64；另外，還可發(fā)現(xiàn)M0右半部分的四列元素，分別依次組成了M0~M3的中心列的元素。
需指出，濾波器特性可通過加窗來改善，只需更換式(11)的重疊加權(quán)矩陣P即可。另外，其他尺寸和頻率特性的三維濾波器也可按類似方法設(shè)計(jì)。
4 結(jié)束語
本文提出用于立體數(shù)字信息恢復(fù)的DFT域的三維濾波器的設(shè)計(jì)方法，此方法將DFT、全相位信號(hào)處理等性質(zhì)綜合起來，彌補(bǔ)了部分現(xiàn)有的用二維濾波方法解決三維濾波問題的不足，在立體圖像和視頻的編碼、傳輸?shù)忍幚響?yīng)用中有較高實(shí)用價(jià)值。
【參考文獻(xiàn)】
［1］ Seo SH, Azimi-Sadjadi, MR, Tian B. A least-squares- ba[x]sed 2-D filtering scheme for stereo image compression ［J］. IEEE Transactions on Image Processing, 2000，9(11): 1967-1972.
［2］ Seo SH, Azimi-Sadjadi, MR. A 2-D filtering scheme for stereo image compression using sequential orthogonal subspace updating［J］. IEEE Transactions，Cir Sys Video Technol, 2001,11(1):52-66.
［3］ 王兆華. 立體數(shù)字信息的壓縮和重構(gòu)［J］.電子學(xué)報(bào)，1988, 16(4): 40-46.
［4］ 黃翔東. 全相位數(shù)字信號(hào)處理［D］. 天津：天津大學(xué)，2006.
［5］ 黃翔東，王兆華.基于兩種對稱頻率采樣的全相位FIR濾波器設(shè)計(jì)［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2007，29(2): 478-481.
［6］ 王兆華, 侯正信, 蘇飛. 全相位數(shù)字濾波［J］. 信號(hào)處理, 2003, 19:1-4(增刊).
［7］ 黃翔東，王兆華，李文元. 二維加窗全相位圖像濾波模板的設(shè)計(jì)［J］. 中國圖像圖形學(xué)報(bào)，2006，11(6):811-817.
